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LA MANERA COMO SE FORMAN LOS NÚMEROS COMPLEJOS

numeros complejos

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Cómo se forman los  Números complejos

Cuando se comienzan a realizar operaciones matemáticas se encuentra la dificultad de no poder encontrar la solución en números reales de ecuaciones como:  y, normalmente se puede elegir un súper-conjunto C, este englobará el conjunto R y el de números generales, en Números complejos.

Por lo anteriormente dicho, los números complejos o imaginarios se representan con la letra C, estos dan soluciones a raíces cuadradas de números negativos, se puede trabajar  y (-2) (-2)= + 4, es decir, daría un número positivo. Se soluciona con el teorema de Unidad imaginaria (i)

La ecuación se trabaja así:  =

2. = 2

Con este ejercicio tenemos resuelta la ecuación y el resultado es un número imaginario; para concluir se puede decir que los Números complejos es la unión de los números imaginarios con los números reales. La importancia en la enseñanza es que el profesor debe ser bien explícito en las raíces negativas.

Con la base sobre estos números, el profesor puede comenzar a explicar todos los procedimientos que se pueden realizar con este tipo de números, desde luego que lo fundamental es que puedan tener bien definido todo lo que se ha tratado de decir en este artículo.

No se puede pasar por alto que los Números complejos están formados por los números reales más lo números imaginarios, los cuales son raíces negativas como por ejemplo , que es la que se tomó como base en el ejemplo.


¿CÓMO EXPLICAR LA FACTORIZACIÓN A MIS ALUMNOS?

factorizacion

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Cómo explicar la factorización para que mis alumnos no se aburran

El profesor es el guía de los estudiantes, es importante que llegues al aula no solo con el material necesario, sino con una buena actitud para lograr que los estudiantes participen. Lo primero que deben saber los estudiantes con respecto a la factorización es que para esta se requiere de dos expresiones algebraicas, de las cuales  la segunda multiplicada entre si debe dar como resultada la primera expresión.

Un  ejemplo es: a (a+b) = a² + ab, ya que vemos que la segunda expresión multiplicada da como resultado la primera. Esta es la forma correcta de explicarle a los alumnos, mostrarles los conceptos básicos y después proporcionarles  ejemplos para que ellos puedan entender.

En la factorización se incluyen 10 casos, en los cuales se realiza un procedimiento diferente que debe ser explicado, pero la regla de todos los factores, es que el resultado multiplicado debe dar como resultado la expresión inicial. Esta puede ser una buena actividad, que los estudiantes realicen un ejercicio sobre factorización,  un ejemplo es descomponer un factor común polinomio y después intercambian las actividades y cada estudiante debe hacer la prueba y sustentarla.

A continuación vamos a proporcionarte un ejemplo de un ejercicio de factorización en el cual se debe descomponer una expresión de  factor común, como este se debe proporcionar uno a los estudiantes, por cada caso explicado.

2x² – 3xy – 4x + 6y = (2x² – 3xy) – (4x – 6y)

= x (2x – 3y) – 2 (2x – 3y)

= (2x – 3y) (x – 2)

 

PROFESOR, ¿CÓMO DEBES ENFOCAR LOS CASOS DE FACTORIZACIÓN?

casos de factorizacion

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Alternativa para enfocar la enseñanza de los casos de factorización

La mejor forma para explicar los casos de factorización es por medio de ejemplos, los jóvenes aprenden más por lo que ven y lo que hacen, que por lo que escuchan. Por esta razón entre más participativa sea la clase mucho mejor, también es importante no llegar al salón de clase con la idea de dejar a muchos, el mejor pensamiento es lograr que sus estudiantes entiendan.

La teoría es de vital importancia de igual forma para aprender los casos de factorización, pero esta no debe ser tan plana, lo más recomendable es acompañarla de ejemplos como el que te proporcionaremos a continuación.

Vamos a factorizar el siguiente polinomio 12x ³  – 36 x²  – 54

En este caso el mayo factor común es 6 x²

Y la factorización   6 x²  (2x – 6y – 9² x²)

Para explicar cada uno de los casos de factorización es importante contar con un ejemplo sencillo para que los estudiantes los puedan entender.  A continuación vamos a nombrar los casos de factorización para tenerlos en cuenta. Caso 1: factor común, 2; factor común por agrupación, 3; trinomio cuadrado perfecto, 4; diferencia de cuadrados, 5; trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción, 6; trinomio de la forma x^ 2 + bx + c, 7; trinomio de la forma ax ^2 + bx + c aspa simple.

8; cubo de un binomio,  9; suma por la diferencia de los cubos, 10; suma de diferencia de potencias impares iguales, casa uno de los casos de factorización deben ir acompañadas ojala por una gráfica y un ejemplo, pero si no se tiene la gráfica por lo menos por el ejemplo.

 

¿CÓMO RESOLVER ECUACIÓNES CON VALOR ABSOLUTO?

ecuaciones con valor absoluto

ecuaciones con valor absoluto

Cómo resolver ecuaciones con valor absoluto de forma sencilla

A primera vista los ejercicios de  ecuaciones con valor absoluto son muy complicados de realizar para los alumnos, por esta razón es importante proporcionarles ejercicios en primera instancia sencillos para que se familiaricen y después otros más complejos para que adquieran el conocimiento deseado y un mejor dominio a la hora de dar solución a las ecuaciones.

El ejercicio que vamos a ver a continuación es apropiado para que lo realices en clase y todos participen, para así poder aprender o reafirmar los conocimientos adquiridos.

A continuación vamos a resolver la siguiente ecuación sencilla, para utilizar cuando se está empezando el tema: 3 + I 1 + x I = 8  lo primero que se debe hacer en este caso es despejar el valor absoluto para seguir con la solución.

I 1 + x I = 8 – 3  I 1 + x I = 5  al tener despejado el valor absoluto se resuelven las dos ecuaciones con valor absoluto presentes.

1 + x = 5  x = 4,            1 + x = -5  x = – 6

Los resultados de las dos ecuaciones son 4 y – 6.

Entre más ejercicios de ecuaciones con valor absoluto se realicen mucho mejor, ya que la matemática es algo de práctica, el conocimiento de adquiere con disciplina y realizando ejercicios con diferente nivel de dificultad para así tener un buen control del tema. Estos ejercicios se pueden realizar tanto individualmente como en grupo para que la clase no sea monótona.

 

¿CÓMO RESOLVER INECUACIÓNES CON VALOR ABSOLUTO?

inecuaciones con valor absoluto

inecuaciones con valor absoluto

Cómo resolver inecuaciones con valor absoluto de forma sencilla

La mejor forma de realizar y aprender sobre inecuaciones con valor absoluto es realizando varios ejercicios, para que así ayudes al estudiante a familiarizarse con la temática, si unos alumnos le explican a otros el conocimiento aprendido se va a reforzar. A continuación vamos a desarrollar un ejercicio sencillo, el cual puede colocar también a los alumnos.

Ejercicio a resolver en el que  se encuentra  un valor absoluto dentro de otro valor absoluto:                                 II x- 1I –x I ≤ 2

Para solucionar el ejercicio propuesto es importante apoyarnos en dos propiedades que vamos a ver a continuación:

-       | x | ≤ a    x ≤ a   y   x   - a

| x |  a  x  a o  x ≤  – a

 

Teniendo estas dos propiedades se empieza a solucionar el problema.

 

| x – 1 | – x ≤ 2         y        | X -1|  – x   - 2

|x – 1| ≤ x + 2          y          |x – 1 |  x – 2

 

(x – 1 ≤ x + 2  y x – 1  - x – 2) y (x – 1   x – 2 o x – 1 ≤  2 – x)

 

(x    y 2x   - 1)                     y              (x   o 2x ≤ 3)

 

(( – , )    [  -1   , ) )                        (( – , )   - (  , 3   )

2                                                                       2

[  -1   , )                                                   (,)

2

Para obtener la solución final de las inecuaciones con valor absoluto debes insertar los dos conjuntos.

Solución: [ – 1  , )  (- , )  = [ – 1  , )

2                                  2

CÓMO SOLUCIONAR SISTEMAS DE ECUACIONES

sistema de ecuaciones

sistema de ecuaciones

Pasos para solucionar sistemas de ecuaciones

Para explicar a tus alumnos la mejor forma de resolver los sistemas de ecuaciones es necesario proporcionar una teoría clara que proporcione el conocimiento deseado, también es apropiado después proporcionar varios ejercicios los primeros de una baja complejidad y después otros que requieran de más concentración y disciplina para resolverlos.

A continuación vamos a resolver un ejercicio apropiado para enseñar a los alumnos los sistemas de ecuaciones y que estos adquieran el conocimiento deseado con respecto a dichas ecuaciones.

  1. 3x + 5y = 4

7x + 10y = 11

VARIABLES

Y

X

7 (3x + 5y = 4)

-3 (7 x  + 10y = 11)

-2 (3x + 5y = 4)}

(7x + 10y = 11)

21x + 35y = 28

-21 x – 30y = -33

-6x – 10y = -8

7x + 10y = 11

+ 5y = -5

Y= -5/ 5

Y= -1

X = 3

 

Al sustituir los valores obtenidos en la primera ecuación se puede obtener los de la segunda ecuación. Ya te mostramos como es:

 3x + 5y = 43x + 5 (-1) = 4

 

3x – 5 = 4

 

3x = 5 + 5

 

3x = 9

 

X = 9/3

 

X= 3

 

X = 3

Y=  -1

3x + 5y = 43 (3) + 5y = 9

 

9 + 5y = 4

 

5y = 4 – 9

 

5y = – 5

 

Y = 5/ -5

 

Y = -1

 

X = 3

Y = -1

 

Siguiendo este procedimiento puedes mostrar a los alumnos de forma sencilla como se resuelven los sistemas de ecuaciones. Entre más practica sea la clase mucho mejor, por lo cual si se resuelven ejercicios como estos en grupo se obtiene conocimiento y practica más rápidamente.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS

ecuaciones logaritmicas

ecuaciones logaritmicas

Cada profesor debe ser claro enseñando Ecuaciones logarítmicas

Ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece afectada por un logaritmo, para resolver las ecuaciones logarítmicas se debe tener en cuenta las propiedades de logaritmos, con el fin de realizar las Ecuaciones logarítmicas

Log (7x+ 1)=2 Log (x + 3) – Log 2

Log (7x + 1) =  Log (x +3)–Log 2

Log (7x + 1) = Log   (x + 3)2

2

(7x + 1) = (x + 3)2

2

2(7x + 1) = (x + 3)2

 

14x + 2 = x+ 6x + 9

 

0= x+ 6x + 9-14x – 2

 

0 = x– 8x + 7

 

Usando las propiedades de las ecuaciones logarítmicas se ha llegado a una ecuación cuadrática o lo que comúnmente se le llama ecuación de segundo grado, expresada por: 0=x2- 8x + 7

Para continuar con el ejemplo de  Ecuaciones logarítmicas, es hora de que se entre a factorizar la ecuación final que dio el procedimiento, para lo cual se procede  así:

0=x2 – 8x + 7

(x  - 7)   (x – 1)

x =0  o  x- 1 = 0 Entonces queda x = 7 x=1

En realidad para llegar hasta aquí se deben tener algunas precauciones como saber usar los signos en forma especial en el traslado de términos de uno a otro lado. Lo otro en que se debe hacer mucho énfasis es en las propiedades para las Ecuaciones logarítmicas.

Como  último paso, se debe revisar si la ecuación final satisface la ecuación original, lo cual en este caso es absolutamente comprobable.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

ecuaciones de segundo grado

ecuaciones de segundo grado

La forma de explicar las Ecuaciones de segundo grado

Todo profesor de matemáticas debe saber que al enseñar Ecuaciones de segundo grado necesita ser lo más claro posible y explicarlo de la manera más sencilla, todo esto en función del aprendizaje de los alumnos y en forma especial cuando se trata de personas que están iniciando en matemáticas.

X2+BX+C=0

X2+X-6=0

Dos números que multiplicados den como resultado en valor de C y sumados resulte el valor de B los cuales, en nuestro ejemplo serán -2 y 3, porque se muestra  B=1 y C=-6. De este modo queda de la siguiente manera:

(X-2)(X+3)=0

Existe una propiedad de Ecuaciones de segundo  que dice que la multiplicación de dos factores igualados a cero, alguno de los dos debe ser cero, o los dos.

Para esto igualamos a X-2=0 y X+3=0  despejando estas ecuaciones de primer grado, nos da como resultado X=2 y X=-3 y si reemplazamos estos valores en la primera ecuación quedara así

Para X=2

22+2-6=0

4+2-6=0

 Lo cual es correcto

Para X=-3

32-3-6=0

9-3-6=0

Lo cual también es correcto y así tenemos la solución de la ecuación de segundo grado. Al resolver esta ecuación se busca que el profesor vea una forma sencilla de enseñar este tema a los alumnos y que no lo vean como algo inalcanzable de aprender, ni que se convierta en una enseñanza tediosa.

El profesor no se puede olvidar de las propiedades que ayudan a resolver los problemas matemáticos y esta es la clave para resolver las ecuaciones.

¿POR QUÉ A LAS MAMÁ LE ES SENCILLO EXPLICAR ECUACIONES DE PRIMER GRADO?

ecuaciones de primer grado

ecuaciones de primer grado

A las mamas se les facilita explicar las ecuaciones de primer grado y se les dificulta las de 2 grado

Las mamas tienen más paciencia para enseñar a sus hijos temas que les cause dificultad como son las ecuaciones, por lo cual pueden orientarles cuantas veces sea necesario para que los niños logren solucionar las ejercicios propuestos y adquieran el conocimiento deseado. Las ecuaciones de primer grado son las más sencillas, estas solo cuentan con la suma y resta de las variables representadas en la ecuación.

Un ejemplo de las ecuaciones de primer grado es el siguiente  5x + 3 = 2x + 1, La graficación de este tipo de ecuaciones se realiza por medio de líneas rectas. Aunque a la mamá le parezcan muy sencillas las ecuaciones tienen la capacidad de tomarse el tiempo para lograr que el niño entienda y adquiera gusto por las matemáticas, para que posteriormente las demás actividades les parezcan sencillas.

Las mamas tienen un vínculo muy fuerte con sus hijos, por lo cual la mayoría de los niños van a poner atención a las herramientas que utilizan las mamas para que aprendan este tema y  conozcan su utilidad en la vida real. Cuando se inicia el proceso de forma apropiada desde las casas, cuando los niños traten el tema en el colegio van a tener las bases para que no les parezca tan complicado.

Las ecuaciones de segundo grado y de ahí en adelante son más complejas que las ecuaciones de primer grado, para enseñar las mismas existen personas expertas o medios a través del internet que proporcionan el conocimiento de forma apropiada a los niños y jóvenes.

 

CÓMO ENSEÑAR LAS DIFERENCIAS ENTRE LAS ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES

ecuaciones lineales

ecuaciones lineales

Forma práctica de enseñar las diferencias de las ecuaciones lineales y no lineales

Para que puedas enseñar la diferencia entre las ecuaciones lineales y las no lineales, es necesario tener claros los conceptos, en primer lugar se debe tener en cuenta que las ecuaciones lineales manejan la variables representadas por letras en tipo uno, lo que quiere decir que las ecuaciones no cuentan con exponentes y su graficación se realiza por medio de líneas rectas, en estas operaciones solo se realizan sumas y restas de las variables.

Un ejemplo de ecuaciones lineales puede ser: 2 x + 3 y = 5.

Las ecuaciones no lineales son más complejas que las lineales, por lo cual es necesario explicar a los estudiantes con paciencia y proporcionándoles ejemplos claros, al igual que motivarlos  para que se interesen en aprender. En este tipo de ecuaciones se involucran operaciones que no son de primer grado como puede ser la raíz cuadrada, las cuales son de segundo grado.

Un ejemplo de las ecuaciones no lineales es: y = x2 y y= 18 – x2  En este tipo de ecuaciones la graficación no es por medio de líneas rectas, sino curvas, ya que interfieren operaciones de segundo orden.

Es importante que expliques tanto las ecuaciones lineales como las no lineales permitiendo que los estudiantes participen y pregunten cuantas dudas tengan, para así lograr solucionar las actividades establecidas y adquirir el conocimiento deseado.  Diferentes herramientas que se encuentran en internet como los tutoriales son apropiadas para cautivar la atención de los estudiantes.